Простейшие показательные уравнения

5 февраля 2012

Если взять обычную степень и «засунуть» в показатель переменную x,получим показательное уравнение. Таких уравнений великое множество, и для них есть собственные методы решения.

Сегодня мы познакомимся с простейшими конструкциями. Они так и называются — простейшие показательные уравнения (кэп?). Все остальные, как бы сложно они ни выглядели, в итоге сводятся к простейшим. Но это уже материал следующих уроков.

Определение

Простейшее показательное уравнение — это уравнение вида:

a ^x = b, где a > 0, a ≠ 1

Такое уравнение не имеет корней при b ≤ 0, а при b > 0 имеет единственный корень: x = log _a b. Более сложные показательные уравнения решаются по следующей схеме:

1. Перевести все степени к одинаковому основанию. Желательно, чтобы оно было целым и минимальным. Например, вместо 4^xлучше писать 2^2x, а вместо 0,01^x — вообще 10^−2x. Почему — узнаете из примеров;
2. В уравнениях, где есть умножение или деление, надо выполнить эти действия. Напомню: при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются, при делении — вычитаются;
3. Если все сделано правильно, получим уравнение видаa ^f (x) = a ^g(x), где a — просто число. Его можно отбросить, поскольку показательная функция монотонна. Получим уравнение f (x) = g(x), которое легко решается.

Помните, что корни — тоже степени, но с дробным основанием:

Задача

Решите уравнение:

Решение

Итак, приведем все степени к основанию 2:

4^x = (2²)^x = 2^2x; 1 = 2⁰; 256 = 2⁸

Теперь перепишем исходное уравнение и выполним деление:

Получили простейшее показательное уравнение. Отбрасываем основание — получаем:

2x = −8 ⇒ x = −4

Ответ

−4

Задача

Решите уравнение:

Решение

Снова приводим все степени к наименьшему целому основанию:

9^2x = (3²)^2x = 3^4x; 1 = 3⁰; 27 = 3³

Обратите внимание: число 27 не является целой степенью девятки. Именно поэтому надо приводить все степени к основанию 3, а не 9. Возвращаемся к исходному уравнению:

Осталось избавиться от основания степени:

4x = −3 ⇒ x = −3/4 = −0,75

Ответ

−0,75

Задача

Решите уравнение:

Решение

В уравнении присутствуют сразу 4 множителя, которые надо перевести в степени с одинаковым основанием:

Учитывая эти факты, перепишем исходное уравнение:

Избавимся от основания — и после приведения дробей к общему знаменателю получим классическую пропорцию:

Дальше все стандартно: произведение крайних элементов пропорции равно произведению средних. Имеем:

14 + 4x − 4 = −35 ⇒ 4x = −45 ⇒ x = −45 : 4 = −11,25

Ответ

−11,25